Rechner für lineare Regression
Ausgleichsgeraden Schritt für Schritt bestimmen
Der Rechner bestimmt für den gegebenen Satz gepaarter Daten mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Ausgleichsgerade, wobei die Schritte angezeigt werden.
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Ihre Eingabe
Bestimme die Ausgleichsgerade für $$$\left\{\left(1, 2\right), \left(2, 5\right), \left(3, 7\right), \left(4, 11\right), \left(5, 15\right)\right\}$$$.
Lösung
Die Anzahl der Beobachtungen beträgt $$$n = 5$$$.
Erstellen Sie die folgende Tabelle:
| $$$x$$$ | $$$y$$$ | $$$x y$$$ | $$$x^{2}$$$ | $$$y^{2}$$$ | |
| $$$1$$$ | $$$2$$$ | $$$2$$$ | $$$1$$$ | $$$4$$$ | |
| $$$2$$$ | $$$5$$$ | $$$10$$$ | $$$4$$$ | $$$25$$$ | |
| $$$3$$$ | $$$7$$$ | $$$21$$$ | $$$9$$$ | $$$49$$$ | |
| $$$4$$$ | $$$11$$$ | $$$44$$$ | $$$16$$$ | $$$121$$$ | |
| $$$5$$$ | $$$15$$$ | $$$75$$$ | $$$25$$$ | $$$225$$$ | |
| $$$\sum$$$ | $$$15$$$ | $$$40$$$ | $$$152$$$ | $$$55$$$ | $$$424$$$ |
Die Ausgleichsgerade ist $$$y = m x + b$$$.
$$$m = \frac{n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2)-(\sum x)^2} = \frac{5 \cdot 152 - \left(15\right)\cdot \left(40\right)}{5 \cdot 55 - 15^{2}} = \frac{16}{5}$$$
$$$b = \frac{(\sum y)(\sum x^2)-(\sum x)(\sum xy)}{n(\sum x^2)-(\sum x)^2} = \frac{\left(40\right)\cdot \left(55\right) - \left(15\right)\cdot \left(152\right)}{5 \cdot 55 - 15^{2}} = - \frac{8}{5}$$$
Somit ist die Ausgleichsgerade $$$y = \frac{16 x}{5} - \frac{8}{5}$$$.
Antwort
Die Ausgleichsgerade ist $$$y = \frac{16 x}{5} - \frac{8}{5} = 3.2 x - 1.6$$$A.