Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\lambda \left(\lambda - 16\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\lambda \left(\lambda - 16\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 16$$$, $$$\lambda_{2} = 0$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = 16$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-8 & 8\\8 & -8\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}8 - \lambda & 8\\8 & 8 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}8 & 8\\8 & 8\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$16$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$0$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.