Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$1$$$A, Vielfachheit: $$$2$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.