Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$
Verwandter Rechner: Rechner für das charakteristische Polynom
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$.
Lösung
Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$.
Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).
Löse die Gleichung $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.
Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).
Dies sind die Eigenwerte.
Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.
$$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$
Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).
Dies ist der Eigenvektor.
$$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$
Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).
Dies ist der Eigenvektor.
Antwort
Eigenwert: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.
Eigenwert: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.