Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A.