Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right) = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 18$$$, $$$\lambda_{2} = 8$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = 18$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\3 & -9\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & 3\\3 & 1\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$18$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$8$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.333333333333333\\1\end{array}\right]$$$A.