Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$.

Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right]$$$.

Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\lambda^{2} - 4$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).

Löse die Gleichung $$$\lambda^{2} - 4 = 0$$$.

Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = -2$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).

Dies sind die Eigenwerte.

Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\1 & -3\end{array}\right]$$$

  Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).

  Dies ist der Eigenvektor.

Eigenwert: $$$-2$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Eigenwert: $$$2$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.