Rechner für Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Schritt für Schritt berechnen
Der Rechner ermittelt die Eigenwerte und Eigenvektoren (Eigenraum) der gegebenen quadratischen Matrix und zeigt die Lösungsschritte.
Verwandter Rechner: Rechner für das charakteristische Polynom
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\0 & 3\end{array}\right]$$$.
Lösung
Beginnen Sie damit, eine neue Matrix zu bilden, indem Sie $$$\lambda$$$ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix subtrahieren: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right]$$$.
Die Determinante der erhaltenen Matrix ist $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right)$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner).
Löse die Gleichung $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0$$$.
Die Nullstellen sind $$$\lambda_{1} = 3$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (für die Schritte siehe Gleichungslöser).
Dies sind die Eigenwerte.
Als Nächstes die Eigenvektoren bestimmen.
$$$\lambda = 3$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 2\\0 & 0\end{array}\right]$$$
Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).
Dies ist der Eigenvektor.
$$$\lambda = 1$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2\\0 & 2\end{array}\right]$$$
Der Nullraum dieser Matrix ist $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (für die Schritte siehe Nullraum-Rechner).
Dies ist der Eigenvektor.
Antwort
Eigenwert: $$$3$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.
Eigenwert: $$$1$$$A, Vielfachheit: $$$1$$$A, Eigenvektor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.