Kreuzprodukt-Rechner

Berechne $$$\left\langle 3, 1, 4\right\rangle\times \left\langle -2, 0, 5\right\rangle$$$.

Um das Kreuzprodukt zu berechnen, bilden wir eine formale Determinante, deren erste Zeile aus Einheitsvektoren besteht, die zweite Zeile unser erster Vektor ist und die dritte Zeile unser zweiter Vektor ist: $$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\3 & 1 & 4\\-2 & 0 & 5\end{array}\right|$$$

Nun entwickle einfach nach der ersten Zeile (für die Schritte zur Berechnung einer Determinante siehe determinant calculator):

$$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\3 & 1 & 4\\-2 & 0 & 5\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}1 & 4\\0 & 5\end{array}\right| \mathbf{\vec{i}} - \left|\begin{array}{cc}3 & 4\\-2 & 5\end{array}\right| \mathbf{\vec{j}} + \left|\begin{array}{cc}3 & 1\\-2 & 0\end{array}\right| \mathbf{\vec{k}} = \left(\left(1\right)\cdot \left(5\right) - \left(4\right)\cdot \left(0\right)\right) \mathbf{\vec{i}} - \left(\left(3\right)\cdot \left(5\right) - \left(4\right)\cdot \left(-2\right)\right) \mathbf{\vec{j}} + \left(\left(3\right)\cdot \left(0\right) - \left(1\right)\cdot \left(-2\right)\right) \mathbf{\vec{k}} = 5 \mathbf{\vec{i}} - 23 \mathbf{\vec{j}} + 2 \mathbf{\vec{k}}$$$

Somit gilt $$$\left\langle 3, 1, 4\right\rangle\times \left\langle -2, 0, 5\right\rangle = \left\langle 5, -23, 2\right\rangle.$$$

$$$\left\langle 3, 1, 4\right\rangle\times \left\langle -2, 0, 5\right\rangle = \left\langle 5, -23, 2\right\rangle$$$A