Kofaktormatrix von $$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]$$$

Bestimme die Kofaktormatrix von $$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]$$$.

Die Kofaktormatrix besteht aus allen Kofaktoren der gegebenen Matrix, die gemäß der Formel $$$C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij}$$$ berechnet werden, wobei $$$M_{ij}$$$ der Minor ist, d. h. die Determinante der Untermatrix, die durch Streichen der Zeile $$$i$$$ und der Spalte $$$j$$$ aus der gegebenen Matrix entsteht.

Berechnen Sie alle Kofaktoren:

$$$C_{11} = \left(-1\right)^{1 + 1} \left|\begin{array}{c}d\end{array}\right| = d$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner.)

$$$C_{12} = \left(-1\right)^{1 + 2} \left|\begin{array}{c}c\end{array}\right| = - c$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner.)

$$$C_{21} = \left(-1\right)^{2 + 1} \left|\begin{array}{c}b\end{array}\right| = - b$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner.)

$$$C_{22} = \left(-1\right)^{2 + 2} \left|\begin{array}{c}a\end{array}\right| = a$$$ (für die Schritte siehe Determinantenrechner.)

Somit ist die Kofaktormatrix $$$\left[\begin{array}{cc}d & - c\\- b & a\end{array}\right]$$$.

Die Kofaktormatrix ist $$$\left[\begin{array}{cc}d & - c\\- b & a\end{array}\right]$$$A.