Rotation von $$$\left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$

Berechne $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$.

Nach Definition gilt $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \nabla\times \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$, oder äquivalent dazu $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\y z & x z & x y\end{array}\right|$$$, wobei $$$\times$$$ der Kreuzprodukt-Operator ist.

Somit gilt $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right)\right\rangle.$$$

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) = x$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right) = x$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) = y$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) = y$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) = z$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right) = z$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).

Setze nun einfach die gefundenen partiellen Ableitungen ein, um die Rotation zu erhalten: $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$.

$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$A