Zweite Ableitung von $$$\ln\left(x\right)$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$.
Lösung
Bestimme die erste Ableitung $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Als Nächstes, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Wende die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = -1$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Daher $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Antwort
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A