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Zweite Ableitung von $$$\csc{\left(x \right)}$$$

Der Rechner bestimmt die zweite Ableitung von $$$\csc{\left(x \right)}$$$ und zeigt die Schritte an.

Ähnliche Rechner: Ableitungsrechner, Rechner für logarithmische Differentiation

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Bestimme $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right)$$$.

Lösung

Bestimme die erste Ableitung $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)$$$

Die Ableitung der Kosekans ist $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$.

Als Nächstes, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)$$$

Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = -1$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$ an:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Wende die Produktregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = \csc{\left(x \right)}$$$ an:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) \csc{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Die Ableitung der Kosekans ist $$$\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$$$:

$$- \cot{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\csc{\left(x \right)}\right)\right)} - \csc{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) = - \cot{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right)} - \csc{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right)$$

Die Ableitung des Kotangens ist $$$\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right) = - \csc^{2}{\left(x \right)}$$$:

$$\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cot{\left(x \right)}\right)\right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} - \csc{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \csc^{2}{\left(x \right)}\right)}$$

Vereinfachen:

$$\cot^{2}{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} + \csc^{3}{\left(x \right)} = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$

Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(- \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$.

Daher $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$.

Antwort

$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\csc{\left(x \right)}\right) = \left(-1 + \frac{2}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \csc{\left(x \right)}$$$A