Zweite Ableitung von $$$2^{n}$$$
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right)$$$.
Lösung
Bestimme die erste Ableitung $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)$$$
Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ mit $$$m = 2$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln\left(2\right)$$$.
Als Nächstes, $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = \frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)$$$
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dn} \left(c f{\left(n \right)}\right) = c \frac{d}{dn} \left(f{\left(n \right)}\right)$$$ mit $$$c = \ln\left(2\right)$$$ und $$$f{\left(n \right)} = 2^{n}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)}$$Wende das Potenzgesetz $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ mit $$$m = 2$$$ an:
$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.
Daher $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.
Antwort
$$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$A