Rechner für die zweite Ableitung
Zweite Ableitungen Schritt für Schritt berechnen
Dieser Rechner berechnet die zweite Ableitung einer beliebigen Funktion und zeigt die Rechenschritte an. Außerdem wertet er bei Bedarf die zweite Ableitung an der angegebenen Stelle aus.
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Ihre Eingabe
Bestimme $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)$$$.
Lösung
Bestimme die erste Ableitung $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)$$$
Die Funktion $$$\sin{\left(5 x \right)}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$Die Ableitung des Sinus ist $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = \cos{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 5$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:
$$\cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = 5 \cos{\left(5 x \right)}$$$.
Als Nächstes, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$$$
Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 5$$$ und $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$$$ an:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)}$$Die Funktion $$$\cos{\left(5 x \right)}$$$ ist die Komposition $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ der beiden Funktionen $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ und $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Wende die Kettenregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ an:
$$5 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = 5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$Die Ableitung des Kosinus ist $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$$5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = 5 {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Zurück zur ursprünglichen Variable:
$$- 5 \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = - 5 \sin{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Wende die Konstantenfaktorregel $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ mit $$$c = 5$$$ und $$$f{\left(x \right)} = x$$$ an:
$$- 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = - 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Wenden Sie die Potenzregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ mit $$$n = 1$$$ an, mit anderen Worten, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Somit gilt $$$\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$.
Daher $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$.
Antwort
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$A