函數的辛普森法則計算器
使用辛普森法則逐步近似計算（由函數給定的）積分
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使用辛普森法則，取 $$$n = 4$$$，近似計算積分 $$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$。
解答
辛普森 1/3 法則（又稱為拋物線法則）使用拋物線來近似計算面積：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
其中 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
我們有 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 1$$$ 和 $$$n = 4$$$。
因此，$$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$。
將區間 $$$\left[0, 1\right]$$$ 劃分為 $$$n = 4$$$ 個長度為 $$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ 的子區間，其端點如下：$$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$。
現在，只需計算函數在這些端點的值。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$
$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$
$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$
最後，只需將上述值相加並乘以 $$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$：$$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237$$$。
答案
$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A