函數的黎曼和計算器
使用黎曼和逐步近似（由函數給定的）積分
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使用左黎曼和，取 $$$n = 4$$$，近似計算積分 $$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$$$。
解答
左黎曼和（亦稱為左端點近似）使用子區間的左端點來計算近似矩形的高度：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
其中 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
我們有 $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$$$, $$$a = 0$$$、$$$b = 2$$$ 和 $$$n = 4$$$。
因此，$$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$。
將區間 $$$\left[0, 2\right]$$$ 劃分為 $$$n = 4$$$ 個長度為 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ 的子區間，其端點如下：$$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$。
現在，只需在每個子區間的左端點處求函數值。
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$$$
最後，只需將上述值相加並乘以 $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$：$$$\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819$$$。
答案
$$$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$$$A