$$$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$$$。

令 $$$u=1 - x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(1 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{2}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=- \frac{1}{2}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=1 - x^{2}$$$：

$$- \sqrt{{\color{red}{u}}} = - \sqrt{{\color{red}{\left(1 - x^{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \sqrt{1 - x^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x} = - \sqrt{1 - x^{2}}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx = - \sqrt{1 - x^{2}} + C$$$A