$$$\tan{\left(2 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \tan{\left(2 x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\tan{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

將切線改寫為 $$$\tan\left( u \right)=\frac{\sin\left( u \right)}{\cos\left( u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2}$$

令 $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dv=\left(\cos{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \sin{\left(u \right)} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\sin{\left(u \right)} du = - dv$$$。

該積分可改寫為

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{v}\right)d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{v} d v}\right)}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$v=\cos{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(u \right)}}}}\right| \right)}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}\right| \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\tan{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(2 x \right)}}\right| \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\tan{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(2 x \right)}}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \tan{\left(2 x \right)}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{\cos{\left(2 x \right)}}\right|\right)}{2} + C$$$A