$$$e^{x} \cos{\left(x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=- \sin{\left(x \right)} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \left(- \sin{\left(x \right)}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}$$$：

$$e^{x} \cos{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)d x}}} = e^{x} \cos{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\cos{\left(x \right)} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{e^{x} \sin{\left(x \right)} d x}}}=e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\left(\sin{\left(x \right)} \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}=e^{x} \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x} = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x}$$

求解後，可得

$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

因此，

$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}$$

化簡：

$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{x} \cos{\left(x \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A