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$$$- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{a^{2} d x} + \int{\frac{1}{x^{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：
$$- \int{a^{2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}=- \int{a^{2} d x} + {\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}=- \int{a^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=- \int{a^{2} d x} + {\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}=- \int{a^{2} d x} + {\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}$$
配合 $$$c=a^{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$- {\color{red}{\int{a^{2} d x}}} - \frac{1}{x} = - {\color{red}{a^{2} x}} - \frac{1}{x}$$
因此，
$$\int{\left(- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)d x} = - a^{2} x - \frac{1}{x}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)d x} = - a^{2} x - \frac{1}{x}+C$$
答案
$$$\int \left(- a^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = \left(- a^{2} x - \frac{1}{x}\right) + C$$$A