$$$7 i^{4} - 12 i^{2}$$$ 的積分

求$$$\int \left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)\, di$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)d i}}} = {\color{red}{\left(- \int{12 i^{2} d i} + \int{7 i^{4} d i}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(i \right)}\, di = c \int f{\left(i \right)}\, di$$$，使用 $$$c=12$$$ 與 $$$f{\left(i \right)} = i^{2}$$$：

$$\int{7 i^{4} d i} - {\color{red}{\int{12 i^{2} d i}}} = \int{7 i^{4} d i} - {\color{red}{\left(12 \int{i^{2} d i}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int i^{n}\, di = \frac{i^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$\int{7 i^{4} d i} - 12 {\color{red}{\int{i^{2} d i}}}=\int{7 i^{4} d i} - 12 {\color{red}{\frac{i^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{7 i^{4} d i} - 12 {\color{red}{\left(\frac{i^{3}}{3}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(i \right)}\, di = c \int f{\left(i \right)}\, di$$$，使用 $$$c=7$$$ 與 $$$f{\left(i \right)} = i^{4}$$$：

$$- 4 i^{3} + {\color{red}{\int{7 i^{4} d i}}} = - 4 i^{3} + {\color{red}{\left(7 \int{i^{4} d i}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int i^{n}\, di = \frac{i^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=4$$$：

$$- 4 i^{3} + 7 {\color{red}{\int{i^{4} d i}}}=- 4 i^{3} + 7 {\color{red}{\frac{i^{1 + 4}}{1 + 4}}}=- 4 i^{3} + 7 {\color{red}{\left(\frac{i^{5}}{5}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)d i} = \frac{7 i^{5}}{5} - 4 i^{3}$$

化簡：

$$\int{\left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)d i} = \frac{i^{3} \left(7 i^{2} - 20\right)}{5}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)d i} = \frac{i^{3} \left(7 i^{2} - 20\right)}{5}+C$$

$$$\int \left(7 i^{4} - 12 i^{2}\right)\, di = \frac{i^{3} \left(7 i^{2} - 20\right)}{5} + C$$$A