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$$$212 x^{2} \sqrt{x^{31}}$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int 212 x^{2} \sqrt{x^{31}}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{212 x^{2} \sqrt{x^{31}} d x}=\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=212$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{35}{2}}$$$：
$${\color{red}{\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(212 \int{x^{\frac{35}{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{35}{2}$$$：
$$212 {\color{red}{\int{x^{\frac{35}{2}} d x}}}=212 {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{35}{2}}}{1 + \frac{35}{2}}}}=212 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{37}{2}}}{37}\right)}}$$
因此，
$$\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x} = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37}$$
加上積分常數：
$$\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x} = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37}+C$$
答案
$$$\int 212 x^{2} \sqrt{x^{31}}\, dx = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37} + C$$$A