$$$212 x^{2} \sqrt{x^{31}}$$$の積分

$$$\int 212 x^{2} \sqrt{x^{31}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{212 x^{2} \sqrt{x^{31}} d x}=\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=212$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{35}{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(212 \int{x^{\frac{35}{2}} d x}\right)}}$$

$$$n=\frac{35}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$212 {\color{red}{\int{x^{\frac{35}{2}} d x}}}=212 {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{35}{2}}}{1 + \frac{35}{2}}}}=212 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{37}{2}}}{37}\right)}}$$

したがって、

$$\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x} = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37}$$

積分定数を加える:

$$\int{212 x^{\frac{35}{2}} d x} = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37}+C$$

$$$\int 212 x^{2} \sqrt{x^{31}}\, dx = \frac{424 x^{\frac{37}{2}}}{37} + C$$$A