$$$\frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}\, dy$$$。

令 $$$u=y - 1$$$。

則 $$$du=\left(y - 1\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dy = du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}={\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=y - 1$$$：

$$- {\color{red}{u}}^{-1} = - {\color{red}{\left(y - 1\right)}}^{-1}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}} d y} = - \frac{1}{y - 1}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}} d y} = - \frac{1}{y - 1}+C$$

$$$\int \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}\, dy = - \frac{1}{y - 1} + C$$$A