$$$- \sin{\left(2 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$$- {\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$\frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)d x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A