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$$$- x^{2} + x$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(- x^{2} + x\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- x^{2} + x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- x^{2} + x\right)d x} = - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$$
化簡：
$$\int{\left(- x^{2} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- x^{2} + x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6}+C$$
答案
$$$\int \left(- x^{2} + x\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(3 - 2 x\right)}{6} + C$$$A