$$$x^{3} e^{- x}$$$ 的積分

求$$$\int x^{3} e^{- x}\, dx$$$。

對於積分 $$$\int{x^{3} e^{- x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x^{3}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$（步驟見 »）。

所以，

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{- x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{3} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x^{3} e^{- x} - \int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- x}$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}}} = - x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\left(- 3 \int{x^{2} e^{- x} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{x^{2} e^{- x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{- x} d x}}}=- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}=- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(- x^{2} e^{- x} - \int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\left(- 2 \int{x e^{- x} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{x e^{- x} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}=- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}$$

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{u}}} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

因此，

$$\int{x^{3} e^{- x} d x} = - x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$$

化簡：

$$\int{x^{3} e^{- x} d x} = \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6\right) e^{- x}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{3} e^{- x} d x} = \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6\right) e^{- x}+C$$

$$$\int x^{3} e^{- x}\, dx = \left(- x^{3} - 3 x^{2} - 6 x - 6\right) e^{- x} + C$$$A