$$$\sin{\left(9 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \sin{\left(9 x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=9 x$$$。

則 $$$du=\left(9 x\right)^{\prime }dx = 9 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{9}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\sin{\left(9 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{9} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{9}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{9} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{9}\right)}}$$

正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{9} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{9}$$

回顧一下 $$$u=9 x$$$：

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{9} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(9 x\right)}} \right)}}{9}$$

因此，

$$\int{\sin{\left(9 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}$$

加上積分常數：

$$\int{\sin{\left(9 x \right)} d x} = - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9}+C$$

$$$\int \sin{\left(9 x \right)}\, dx = - \frac{\cos{\left(9 x \right)}}{9} + C$$$A