$$$e^{- \frac{x}{40}}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- \frac{x}{40}}\, dx$$$。

令 $$$u=- \frac{x}{40}$$$。

則 $$$du=\left(- \frac{x}{40}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{40}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - 40 du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{40}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 40 e^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-40$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 40 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 40 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- \frac{x}{40}$$$：

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{40}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{x}{40}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{40}}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- \frac{x}{40}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{40}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{40}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{40}} + C$$$A