$$$e^{- \frac{x}{40}}$$$の積分

$$$\int e^{- \frac{x}{40}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{x}{40}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{x}{40}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{40}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - 40 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{40}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 40 e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-40$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 40 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 40 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- 40 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 40 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{x}{40}$$$:

$$- 40 e^{{\color{red}{u}}} = - 40 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{40}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{x}{40}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{40}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{x}{40}} d x} = - 40 e^{- \frac{x}{40}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{40}}\, dx = - 40 e^{- \frac{x}{40}} + C$$$A