$$$6^{- x}$$$ 的積分

求$$$\int 6^{- x}\, dx$$$。

令 $$$u=- x$$$。

則 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{6^{- x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 6^{u}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = 6^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- 6^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{6^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=6$$$:

$$- {\color{red}{\int{6^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{6^{u}}{\ln{\left(6 \right)}}}}$$

回顧一下 $$$u=- x$$$：

$$- \frac{6^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(6 \right)}} = - \frac{6^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(6 \right)}}$$

因此，

$$\int{6^{- x} d x} = - \frac{6^{- x}}{\ln{\left(6 \right)}}$$

加上積分常數：

$$\int{6^{- x} d x} = - \frac{6^{- x}}{\ln{\left(6 \right)}}+C$$

$$$\int 6^{- x}\, dx = - \frac{6^{- x}}{\ln\left(6\right)} + C$$$A