$$$- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{t}{125} d x} + \int{\frac{3 x^{2}}{1000} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=\frac{t}{125}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$\int{\frac{3 x^{2}}{1000} d x} - {\color{red}{\int{\frac{t}{125} d x}}} = \int{\frac{3 x^{2}}{1000} d x} - {\color{red}{\left(\frac{t x}{125}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{3}{1000}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：

$$- \frac{t x}{125} + {\color{red}{\int{\frac{3 x^{2}}{1000} d x}}} = - \frac{t x}{125} + {\color{red}{\left(\frac{3 \int{x^{2} d x}}{1000}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$- \frac{t x}{125} + \frac{3 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{1000}=- \frac{t x}{125} + \frac{3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{1000}=- \frac{t x}{125} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{1000}$$

因此，

$$\int{\left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)d x} = - \frac{t x}{125} + \frac{x^{3}}{1000}$$

化簡：

$$\int{\left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)d x} = \frac{x \left(- 8 t + x^{2}\right)}{1000}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)d x} = \frac{x \left(- 8 t + x^{2}\right)}{1000}+C$$

$$$\int \left(- \frac{t}{125} + \frac{3 x^{2}}{1000}\right)\, dx = \frac{x \left(- 8 t + x^{2}\right)}{1000} + C$$$A