$$$\frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}}\, dx$$$。

簡化被積函數:

$${\color{red}{\int{\frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{3 x}{2 x - 1}\right)d x}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=-3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{2 x - 1}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{3 x}{2 x - 1}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{\frac{x}{2 x - 1} d x}\right)}}$$

將被積函數的分子改寫為 $$$x=\frac{1}{2}\left(2 x - 1\right)+\frac{1}{2}$$$，並將分式拆分:

$$- 3 {\color{red}{\int{\frac{x}{2 x - 1} d x}}} = - 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$$- 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)}\right)d x}}} = - 3 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2} d x} + \int{\frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=\frac{1}{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- 3 \int{\frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2} d x}}} = - 3 \int{\frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x - 1}$$$：

$$- \frac{3 x}{2} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(2 x - 1\right)} d x}}} = - \frac{3 x}{2} - 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{2 x - 1} d x}}{2}\right)}}$$

令 $$$u=2 x - 1$$$。

則 $$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$$- \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 1} d x}}}}{2} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$$- \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}}{2} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$- \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

回顧一下 $$$u=2 x - 1$$$：

$$- \frac{3 x}{2} - \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

因此，

$$\int{\frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}} d x} = - \frac{3 x}{2} - \frac{3 \ln{\left(\left|{2 x - 1}\right| \right)}}{4}$$

化簡：

$$\int{\frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}} d x} = - \frac{3 \left(2 x + \ln{\left(\left|{2 x - 1}\right| \right)}\right)}{4}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}} d x} = - \frac{3 \left(2 x + \ln{\left(\left|{2 x - 1}\right| \right)}\right)}{4}+C$$

$$$\int \frac{3 x^{4}}{- 2 x^{4} + x^{3}}\, dx = - \frac{3 \left(2 x + \ln\left(\left|{2 x - 1}\right|\right)\right)}{4} + C$$$A