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橢圓$$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$的性質
您的輸入
求橢圓 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$ 的中心、焦點、頂點、副頂點、長軸長度、半長軸長度、短軸長度、半短軸長度、面積、周長、通徑、通徑的長度（焦寬）、焦參數、離心率、線離心率（焦距）、準線、x 軸截點、y 軸截點、定義域和值域。
解答
橢圓的方程式為 $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$，其中 $$$\left(h, k\right)$$$ 為中心，$$$b$$$ 與 $$$a$$$ 分別為半長軸與半短軸的長度。
以此形式表示的橢圓為 $$$\frac{\left(x - 0\right)^{2}}{4} + \frac{\left(y - 0\right)^{2}}{5} = 1$$$。
因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 2$$$, $$$b = \sqrt{5}$$$。
標準形式為 $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$。
頂點式為 $$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$。
一般式為 $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$。
線離心距（半焦距）為 $$$c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = 1$$$。
離心率為 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$$。
第一焦點為$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -1\right)$$$。
第二個焦點是$$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 1\right)$$$。
第一個頂點為 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, - \sqrt{5}\right)$$$。
第二個頂點為 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, \sqrt{5}\right)$$$。
第一個副頂點為 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-2, 0\right)$$$。
第二個副頂點為 $$$\left(h + a, k\right) = \left(2, 0\right)$$$。
長軸的長度為 $$$2 b = 2 \sqrt{5}$$$。
短軸的長度為 $$$2 a = 4$$$。
面積為 $$$\pi a b = 2 \sqrt{5} \pi$$$。
圓周長為 $$$4 b E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)$$$。
焦準距是焦點與準線之間的距離: $$$\frac{a^{2}}{c} = 4$$$.
準弦是與短軸平行並通過焦點的直線。
第一條準弦是 $$$y = -1$$$。
第二條準通徑為 $$$y = 1$$$。
第一條準通徑的端點可透過解方程組 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = -1 \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 方程組計算器）。
第一條通徑的端點為 $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)$$$。
第二條通徑的端點可由解聯立方程組 $$$\begin{cases} 5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0 \\ y = 1 \end{cases}$$$ 求得（步驟請參見 聯立方程組計算器）。
第二條通徑的端點為 $$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)$$$。
準通徑（焦點弦）的長度為 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$$$。
第一條準線為 $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = -5$$$。
第二條準線為 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = 5$$$。
可透過在方程中令 $$$y = 0$$$，並求解 $$$x$$$，來求得 x 截距（步驟請見 intercepts calculator）。
x 軸截距: $$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$
y 軸截距可透過將$$$x = 0$$$代入方程並解出$$$y$$$來求得：（步驟請參見 截距計算器）。
y 軸截距: $$$\left(0, - \sqrt{5}\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)$$$
定義域為 $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[-2, 2\right]$$$。
值域為 $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$$。
答案
標準式/方程式: $$$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = 1$$$A.
頂點式/方程式：$$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$$A。
一般式/方程式: $$$5 x^{2} + 4 y^{2} - 20 = 0$$$A.
第一組焦點-準線形式/方程式：$$$x^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{\left(y + 5\right)^{2}}{5}$$$A。
第二焦點-準線形式/方程：$$$x^{2} + \left(y - 1\right)^{2} = \frac{\left(y - 5\right)^{2}}{5}$$$A
圖形：請參見繪圖計算器。
中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。
第一焦點：$$$\left(0, -1\right)$$$A。
第二焦點：$$$\left(0, 1\right)$$$A。
第一個頂點：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$A。
第二個頂點: $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A.
第一個共頂點：$$$\left(-2, 0\right)$$$A。
第二個副頂點：$$$\left(2, 0\right)$$$A。
長軸長度：$$$2 \sqrt{5}\approx 4.472135954999579$$$A。
長半軸長度：$$$\sqrt{5}\approx 2.23606797749979$$$A。
短軸長度：$$$4$$$A。
短半軸長度：$$$2$$$A。
面積：$$$2 \sqrt{5} \pi\approx 14.049629462081453$$$A。
圓周長：$$$4 \sqrt{5} E\left(\frac{1}{5}\right)\approx 13.318334443130703$$$A。
第一準弦：$$$y = -1$$$A。
第二條通徑：$$$y = 1$$$A。
第一條通徑的端點：$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(-1.788854381999832, -1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, -1\right)\approx \left(1.788854381999832, -1\right)$$$A。
第二條準弦的端點：$$$\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(-1.788854381999832, 1\right)$$$, $$$\left(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 1\right)\approx \left(1.788854381999832, 1\right)$$$A。
準弦的長度（焦寬）：$$$\frac{8 \sqrt{5}}{5}\approx 3.577708763999664$$$A。
焦點參數：$$$4$$$A。
離心率：$$$\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0.447213595499958$$$A。
離心距（焦點距離）：$$$1$$$A。
第一準線：$$$y = -5$$$A。
第二準線：$$$y = 5$$$A。
x 軸截距：$$$\left(-2, 0\right)$$$, $$$\left(2, 0\right)$$$A。
y 軸截距：$$$\left(0, - \sqrt{5}\right)\approx \left(0, -2.23606797749979\right)$$$, $$$\left(0, \sqrt{5}\right)\approx \left(0, 2.23606797749979\right)$$$A。
定義域: $$$\left[-2, 2\right]$$$A.
值域：$$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]\approx \left[-2.23606797749979, 2.23606797749979\right]$$$A。