奇异值分解计算器

求$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$$$的奇异值分解。

求该矩阵的转置：$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$（步骤详见矩阵转置计算器）。

将矩阵与其转置相乘：$$$W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$（步骤详见矩阵乘法计算器）。

现在，求$$$W$$$的特征值与特征向量（步骤参见特征值与特征向量计算器）。

特征值：$$$8$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$。

特征值：$$$2$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$。

特征值：$$$0$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$。

求非零特征值 ($$$\sigma_{i}$$$) 的平方根：

$$$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \sqrt{2}$$$

矩阵 $$$\Sigma$$$ 是一个对角线上为 $$$\sigma_{i}$$$、其余元素为零的矩阵：$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$。

矩阵 $$$U$$$ 的列是归一化（单位）向量：$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$（关于求单位向量的步骤，参见 单位向量计算器）。

现在，$$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$：

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$$$ (步骤详见 矩阵数乘计算器 和 矩阵乘法计算器).

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$$$ (步骤详见 矩阵数乘计算器 和 矩阵乘法计算器).

由于非零$$$\sigma_{i}$$$已用尽且还需再取一个向量，可通过求以已找到向量为行的矩阵的零空间，得到一个正交于这些向量的向量：$$$\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$$$（步骤参见零空间计算器）。

将向量单位化：它变为$$$\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$$$（步骤详见单位向量计算器）。

因此，$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$。

矩阵$$$U$$$、$$$\Sigma$$$和$$$V$$$使得初始矩阵满足$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$。

$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$$$A