$$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]$$$ 的反函数

使用高斯-若尔当消元法计算$$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]^{-1}$$$。

要找逆矩阵，将它与单位矩阵构成增广矩阵，并进行初等行变换，使左侧化为单位矩阵。此时右侧即为逆矩阵。

因此，用单位矩阵增广该矩阵：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}a & b & 1 & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

将第$$$1$$$行除以$$$a$$$：$$$R_{1} = \frac{R_{1}}{a}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

从第$$$2$$$行中减去第$$$1$$$行的$$$c$$$倍：$$$R_{2} = R_{2} - c R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & d - \frac{b c}{a} & - \frac{c}{a} & 1\end{array}\right]$$$

将第$$$2$$$行除以$$$d - \frac{b c}{a}$$$：$$$R_{2} = \frac{R_{2}}{d - \frac{b c}{a}}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

从第$$$1$$$行中减去第$$$2$$$行的$$$\frac{b}{a}$$$倍：$$$R_{1} = R_{1} - \frac{b}{a} R_{2}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

我们完成了。左边是单位矩阵。右边是逆矩阵。

逆矩阵为 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\- \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$A。