$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$ 的反函数

使用高斯-若尔当消元法计算$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$。

要找逆矩阵，将它与单位矩阵构成增广矩阵，并进行初等行变换，使左侧化为单位矩阵。此时右侧即为逆矩阵。

因此，用单位矩阵增广该矩阵：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

将第$$$1$$$行除以$$$5$$$：$$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行减去第$$$1$$$行：$$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

将第$$$2$$$行乘以$$$\frac{5}{3}$$$: $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

从第$$$1$$$行中减去第$$$2$$$行的$$$\frac{2}{5}$$$倍：$$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

我们完成了。左边是单位矩阵。右边是逆矩阵。

逆矩阵为 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A。