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三角形计算器
计算器将尝试找出三角形的所有边和角（直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形），以及它的周长和面积，并显示步骤。
您的输入
求解三角形，如果$$$a = 9$$$, $$$b = 10$$$, $$$C = 45^0$$$ 。
解决方案
根据余弦定律： $$$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$$$ 。
在我们的例子中， $$$c^{2} = 9^{2} + 10^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\cos{\left(45^0 \right)}\right) = 181 - 90 \sqrt{2}$$$ 。
因此， $$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}$$$ 。
根据正弦定律： $$$\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$$$ 。
在我们的例子中， $$$\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{\sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}{\sin{\left(45^0 \right)}}$$$ 。
因此， $$$\sin{\left(A \right)} = \frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}}$$$ 。
有两种可能的情况：
$$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0$$$
第三个角是$$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$ 。
在我们的例子中， $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0$$$ 。
面积为$$$S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(10\right)\cdot \left(\sin{\left(45^0 \right)}\right) = \frac{45 \sqrt{2}}{2}$$$ 。
周长是$$$P = a + b + c = 9 + 10 + \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19$$$ 。
$$$A = \left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0$$$
第三个角是$$$B = 180^0 - \left(A + C\right)$$$ 。
在我们的例子中， $$$B = 180^0 - \left(\left(\frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right)^0 + 45^0\right) = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{- 180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)} + 180 \pi}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0$$$ 。
这种情况是不可能的，因为与较长边相对的角度必须更大。
回答
$$$a = 9$$$A
$$$b = 10$$$A
$$$c = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}\approx 7.329446049083208$$$A
$$$A = \left(\frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right)^0\approx 60.258581489369345^0$$$A
$$$B = \left(\frac{- \pi \left(45 + \frac{180 \operatorname{asin}{\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2 \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}}} \right)}}{\pi}\right) + 180 \pi}{\pi}\right)^0\approx 74.741418510630655^0$$$A
$$$C = 45^0$$$A
面积： $$$S = \frac{45 \sqrt{2}}{2}\approx 31.819805153394639$$$A 。
周长： $$$P = \sqrt{181 - 90 \sqrt{2}} + 19\approx 26.329446049083208$$$A 。