函数右端点近似计算器
使用右端点逐步近似给定函数的积分
您的输入
使用右端点近似法，用 $$$n = 4$$$ 来近似计算积分 $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$。
解答
右黎曼和（也称为右端点近似）使用子区间的右端点来计算近似矩形的高度：
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
其中 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$。
我们有$$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$、$$$b = 5$$$和$$$n = 4$$$。
因此，$$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$。
将区间 $$$\left[1, 5\right]$$$ 划分为 $$$n = 4$$$ 个长度为 $$$\Delta x = 1$$$ 的子区间，其端点如下：$$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$。
现在，只需在各子区间的右端点处求函数值。
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$
最后，只需将以上各个数值相加并乘以 $$$\Delta x = 1$$$：$$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726$$$。
答案
$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A