$$$e^{9 x}$$$ 的积分

求$$$\int e^{9 x}\, dx$$$。

设$$$u=9 x$$$。

则$$$du=\left(9 x\right)^{\prime }dx = 9 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{9}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{e^{9 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{9} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{9}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{9} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

回忆一下 $$$u=9 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{9} = \frac{e^{{\color{red}{\left(9 x\right)}}}}{9}$$

因此，

$$\int{e^{9 x} d x} = \frac{e^{9 x}}{9}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{9 x} d x} = \frac{e^{9 x}}{9}+C$$

$$$\int e^{9 x}\, dx = \frac{e^{9 x}}{9} + C$$$A