$$$e^{9 x}$$$の積分

$$$\int e^{9 x}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=9 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(9 x\right)^{\prime }dx = 9 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{9}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{9 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{9} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{9}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{9} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

次のことを思い出してください $$$u=9 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{9} = \frac{e^{{\color{red}{\left(9 x\right)}}}}{9}$$

したがって、

$$\int{e^{9 x} d x} = \frac{e^{9 x}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{9 x} d x} = \frac{e^{9 x}}{9}+C$$

$$$\int e^{9 x}\, dx = \frac{e^{9 x}}{9} + C$$$A