$$$x^{3} e^{6 x}$$$ 的积分

求$$$\int x^{3} e^{6 x}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{x^{3} e^{6 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{3}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{6 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{6 x} d x}=\frac{e^{6 x}}{6}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{6 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{3} \cdot \frac{e^{6 x}}{6}-\int{\frac{e^{6 x}}{6} \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \int{\frac{x^{2} e^{6 x}}{2} d x}\right)}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{6 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - {\color{red}{\int{\frac{x^{2} e^{6 x}}{2} d x}}} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{2} e^{6 x} d x}}{2}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x^{2} e^{6 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{6 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{6 x} d x}=\frac{e^{6 x}}{6}$$$ (步骤见 »)。

所以，

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{{\color{red}{\int{x^{2} e^{6 x} d x}}}}{2}=\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{{\color{red}{\left(x^{2} \cdot \frac{e^{6 x}}{6}-\int{\frac{e^{6 x}}{6} \cdot 2 x d x}\right)}}}{2}=\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2} e^{6 x}}{6} - \int{\frac{x e^{6 x}}{3} d x}\right)}}}{2}$$

对 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{6 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{x e^{6 x}}{3} d x}}}}{2} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{x e^{6 x} d x}}{3}\right)}}}{2}$$

对于积分$$$\int{x e^{6 x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{6 x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{6 x} d x}=\frac{e^{6 x}}{6}$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{{\color{red}{\int{x e^{6 x} d x}}}}{6}=\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(x \cdot \frac{e^{6 x}}{6}-\int{\frac{e^{6 x}}{6} \cdot 1 d x}\right)}}}{6}=\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x e^{6 x}}{6} - \int{\frac{e^{6 x}}{6} d x}\right)}}}{6}$$

对 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{6 x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{6 x}}{6} d x}}}}{6} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{6 x} d x}}{6}\right)}}}{6}$$

设$$$u=6 x$$$。

则$$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{6}$$$。

因此，

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\int{e^{6 x} d x}}}}{36} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}}}{36}$$

对 $$$c=\frac{1}{6}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}}}{36} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}}{36}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{216} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{216}$$

回忆一下 $$$u=6 x$$$:

$$\frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{216} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{e^{{\color{red}{\left(6 x\right)}}}}{216}$$

因此，

$$\int{x^{3} e^{6 x} d x} = \frac{x^{3} e^{6 x}}{6} - \frac{x^{2} e^{6 x}}{12} + \frac{x e^{6 x}}{36} - \frac{e^{6 x}}{216}$$

化简：

$$\int{x^{3} e^{6 x} d x} = \frac{\left(36 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1\right) e^{6 x}}{216}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{3} e^{6 x} d x} = \frac{\left(36 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1\right) e^{6 x}}{216}+C$$

$$$\int x^{3} e^{6 x}\, dx = \frac{\left(36 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1\right) e^{6 x}}{216} + C$$$A