$$$1 - \cos{\left(2 x \right)}$$$ 的积分

求$$$\int \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$- \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + {\color{red}{x}}$$

设$$$u=2 x$$$。

则$$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = \frac{du}{2}$$$。

所以，

$$x - {\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}} = x - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$x - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}} = x - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

余弦函数的积分为 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$x - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = x - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=2 x$$$:

$$x - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = x - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x} = x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x} = x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = \left(x - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right) + C$$$A