$$$\frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x}\, dx$$$。

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(4 x^{3} - 15 x^{2}\right)d x}}}$$

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(4 x^{3} - 15 x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{15 x^{2} d x} + \int{4 x^{3} d x}\right)}}$$

对 $$$c=15$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{15 x^{2} d x}}} = \int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(15 \int{x^{2} d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$\int{4 x^{3} d x} - 15 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=\int{4 x^{3} d x} - 15 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\int{4 x^{3} d x} - 15 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 5 x^{3} + {\color{red}{\int{4 x^{3} d x}}} = - 5 x^{3} + {\color{red}{\left(4 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=3$$$：

$$- 5 x^{3} + 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- 5 x^{3} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- 5 x^{3} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

因此，

$$\int{\frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x} d x} = x^{4} - 5 x^{3}$$

化简：

$$\int{\frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x} d x} = x^{3} \left(x - 5\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x} d x} = x^{3} \left(x - 5\right)+C$$

$$$\int \frac{4 x^{4} - 15 x^{3}}{x}\, dx = x^{3} \left(x - 5\right) + C$$$A