有理根定理计算器
逐步求出多项式所有可能的有理根
该计算器将利用有理根定理找出该多项式的所有可能的有理根。随后，它会判定哪些可能的根是真正的根。这是整数（整）根定理（当首项系数为 $$$1$$$ 或 $$$-1$$$ 时）的更一般情形。可查看步骤。
您的输入
求$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$7$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$2$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$；因此，余数为$$$-12$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$-1$$$ 是一个根。
检验 $$$\frac{1}{2}$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$；因此，余数为$$$0$$$。
因此，$$$\frac{1}{2}$$$ 是一个根。
检验 $$$- \frac{1}{2}$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$；因此，余数为$$$\frac{27}{4}$$$。
检验 $$$7$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - 7$$$。
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$；因此，余数为$$$4368$$$。
检验 $$$-7$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$。
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$；因此，余数为$$$3780$$$。
检验 $$$\frac{7}{2}$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \frac{7}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$；因此，余数为$$$\frac{567}{4}$$$。
检验 $$$- \frac{7}{2}$$$：将 $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$；因此，余数为$$$105$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A。
实际的有理根：$$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A。