Calculadora do Teorema de Zeros Racionais

A calculadora encontrará todas as raízes racionais possíveis do polinômio usando o teorema dos zeros racionais. Depois disso, ele decidirá quais possíveis raízes são realmente as raízes. Este é um caso mais geral do teorema da raiz inteira (integral) (quando o coeficiente líder é $$$1$$$ ou $$$- 1$$$). As etapas estão disponíveis.

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Sua entrada

Encontre os zeros racionais do $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Solução

Como todos os coeficientes são inteiros, podemos aplicar o teorema dos zeros racionais.

O coeficiente posterior (o coeficiente do termo constante) é o $$$7$$$.

Encontre seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): lista de $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Esses são os valores possíveis para $$$p$$$.

O coeficiente principal (o coeficiente do termo com o grau mais alto) é o $$$2$$$.

Encontre seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): lista de $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Esses são os valores possíveis para $$$q$$$.

Encontre todos os valores possíveis de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Simplifique e remova as duplicatas (se houver).

Estas são as raízes racionais possíveis: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

A seguir, verifique as raízes possíveis: se $$$a$$$ é uma raiz do polinômio $$$P{\left(x \right)}$$$, o resto da divisão de $$$P{\left(x \right)}$$$ pela $$$x - a$$$ deve ser igual a $$$0$$$ (de acordo com o teorema do resto, isso significa que a $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ ).

  • Verifique a $$$1$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$ ; assim, o resto é $$$-12$$$.

  • Verifique a $$$-1$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; assim, o resto é $$$0$$$.

    Conseqüentemente, a $$$-1$$$ é uma raiz.

  • Verifique a $$$\frac{1}{2}$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$ ; assim, o resto é $$$0$$$.

    Conseqüentemente, a $$$\frac{1}{2}$$$ é uma raiz.

  • Verifique a $$$- \frac{1}{2}$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$ ; assim, o resto é $$$\frac{27}{4}$$$.

  • Verifique a $$$7$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$ ; assim, o resto é $$$4368$$$.

  • Verifique a $$$-7$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$ ; assim, o resto é $$$3780$$$.

  • Verifique a $$$\frac{7}{2}$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$ ; assim, o resto é $$$\frac{567}{4}$$$.

  • Verifique a $$$- \frac{7}{2}$$$: divida $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ por $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$ ; assim, o resto é $$$105$$$.

Responder

Raízes racionais possíveis: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Raízes racionais reais: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.