$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A.