$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A.