$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$'in özdeğerleri ve özvektörleri

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$ için özdeğerleri ve özvektörleri bulun.

Önce, verilen matrisin köşegen elemanlarından $$$\lambda$$$ çıkararak yeni bir matris oluşturun: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$

Elde edilen matrisin determinantı $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (adımlar için bkz. determinant hesaplayıcısı).

Denklemi çözün $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.

Kökler $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (adımlar için bkz. denklem çözücü).

Bunlar özdeğerlerdir.

Ardından, özvektörleri bulun.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Bu matrisin sıfır uzayı $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcısı).

  Bu, özvektördür.

Özdeğer: $$$1$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.

Özdeğer: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, çokluk: $$$1$$$A, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.